Cho đến nay, tích phân là công cụ chúng ta dùng để đo khoảng cách giữa một đường cong và mặt phẳng cố định của trục hoành. Nhưng nếu chính mặt sàn đang di chuyển thì sao? Trong bài học này, chúng ta vượt qua trục tọa độ và học cách tính diện tích của các vùng bị giam giữa hai biên chức năng độc lập, $f(x)$ và $g(x)$.
Hình học của sự khác biệt
Để tìm diện tích $A$ của vùng $S$ được giới hạn bởi $y = f(x)$ và $y = g(x)$ từ $x = a$ đến $x = b$, chúng ta sử dụng cùng một logic tổng Riemann đã tạo nền tảng cho giải tích.
Mở rộng Riemann
Chúng ta chia vùng thành $n$ dải thẳng đứng. Nếu $x_i^*$ là một điểm mẫu trong khoảng thứ $i$, thì chiều cao của hình chữ nhật xấp xỉ không chỉ là $f(x_i^*)$, mà còn là sự khác biệt giữa độ cao của đường cong trên và đường cong dưới:
$$h = f(x_i^*) - g(x_i^*)$$
Tổng đến tích phân
Khi số lượng dải tăng vô hạn ($n \to \infty$), tổng diện tích các hình chữ nhật hội tụ về tích phân xác định:
Công thức cốt lõi:
$$A = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} [f(x_i^*) - g(x_i^*)] \Delta x = \int_a^b [f(x) - g(x)] dx$$
trong đó $\Delta x = \frac{b-a}{n}$.
Quy tắc giá trị tuyệt đối của sự khác biệt
Nếu các đường cong cắt nhau thì sao? Nếu chúng ta tích phân đơn giản $f-g$ trong khi $g$ thực tế nằm trên $f$, chúng ta sẽ nhận được kết quả âm. Để đảm bảo luôn tính toán được độ lớn diện tích, chúng ta sử dụng giá trị tuyệt đối:
$$A = \int_a^b |f(x) - g(x)| dx$$
🎯 Định lý công thức diện tích
Nếu $f$ và $g$ là các hàm liên tục và $f(x) \ge g(x)$ với mọi $x$ trong $[a, b]$, thì diện tích $A$ của vùng được giới hạn bởi $y = f(x)$, $y = g(x)$, $x = a$, và $x = b$ là:
$$A = \int_a^b [f(x) - g(x)] dx$$
Ví dụ 1: Hàm mũ so với hàm tuyến tính
Tìm diện tích được giới hạn phía trên bởi $y = e^x$, phía dưới bởi $y = x$, từ $x = 0$ đến $x = 1$.
$$A = \int_0^1 (e^x - x) dx = [e^x - \frac{1}{2}x^2]_0^1 = (e - \frac{1}{2}) - (e^0 - 0) = e - 1.5 \approx 1.218$$